Страницы: 1 2 3 След.
Ответить

Слабо решить задачку?!

 
Хочется поделится с условием на первый взгляд простенькой задачи, уже пол дня думаю никак не придумаю решение...может кто поможет :)
Условие:
некторое событие происходит с определённой периодичностью, началась эта периодичность в определённое время суток. Через сколько суток это же событие произойдёт в это же время суток.
Кто напишет правильную формулу для этой задачи, тот меня очень удивит и порадует!
 
Наиболее распространенный подход к построению математических моделей прогнозирования
циклических процессов заключается в первоначальном выделении тренда и анализе
остаточного ряда с целью выявления и описания периодической компоненты. Для выделения
тренда можно использовать процедуру сглаживания временных рядов с помощью метода
скользящего среднего.
Если считать, что временной ряд состоит из 3-х аддитивных составляющих
где gt - тренд; st - циклические колебания; zt - случайная составляющая, и обозначить операцию
вычисления скользящего среднего символом Г, то
T{yt) = T{gt) + T{St) + T{zt),
И
yt-T{yt) = st-T{st) + zt-T(zt)
(при условии идеального выделения тренда T(gt)=gt).
Это означает, что члены T(st) и Т(г{) могут исказить истинные колебания остаточного
ряда, в том числе индуцировать ложное колебательное движение (эффект Слуцкого-Юла).
Так, например, если £,=csin(cof+(p), то операция вычисления простого скользящего среднего
(с равными весами) к последовательных членов приведет к синусоидальному ряду с тем
же периодом и фазой, но с амплитудой, равной

T(St): csin(to/2)
/:sin(co/2)
Если выбрать кы/2 кратным я (длина отрезка усреднения равна или кратна периоду колебания),
то T(st)=0 и искажение отсутствует.
При анализе сезонных колебаний задача упрощается за счет того, что мы знаем их период
- 1 год (это относится и к другим циклическим процессам с постоянным и известным
периодом).
Иногда цикличность может быть выражена настолько явно, что нет необходимости доказывать
ее существование. Однако в общем случае необходим статистический тест проверки
гипотезы об отсутствии циклического слагаемого с заданным периодом N/kj
st = a(kj) cos
2nki ^ J-t
N + P(*y)sin
'2nkj ^
N
где N - количество точек временного ряда.
При нулевой гипотезе
Я0:а(*,.) = Р(*,) = 0 или р(^) = А/а2(^.) + р 2 ( ^ ) =0
статика
NR\kj)
4SZ
имеет распределение Фишера с 2 и N-p степенями свободы .
Здесь q - количество гармоник в разложении функции в ряд Фурье; р - число оцениваемых
коэффициентов (2д+1 или 2#+2); R2(kj)=a2(kj)+b2(kj)\ a2(kj)y b2(kj) - оценки коэффициентов
a2(kj) и $2(kj) в разложении функции в ряд Фурье при периоде N/kfi S2 - оценка дисперсии
случайной составляющей модели, которая определяется по приведенным в формулам.
Если мы не знаем, какой конкретной частоты могут быть колебания, то вынуждены
проверять сложную нулевую гипотезу: все p(kj) равны нулю.
В рассмотрен равномерно наиболее мощный критерий проверки гипотезы #о (все
p(kj) равны 0), который состоит в принятии гипотезы #о, если
J q
R\kj)
Zg (j = Uq).
2>2(*,o
/ = 1
При этом константа g выбирается таким образом, чтобы вероятность ошибки первого
рода, которая определяется по формуле
P f m a ^ g / t f o H r t l - * ) ' - 1 ^ 0)
не превосходила заданную.
В противном случае принимается гипотеза Яу, для которой R2(kj)> R2(k{) (i* j , i = \,q).
При этом
st =a(kj)cos\
fink,-
I N
+ p(£/)sin
Ink: ^ Lt
N
Распределение статистики Фишера (1) исследовано в , а в работе получено при-
Об одной математической модели прогнозирования циклических процессов 49
ближенное соотношение
P{m^xxJ>g/HQ} = q(l-gr\
Описанная процедура достаточно сложна и ее слабым местом является искажение остаточного
временного ряда при выделении тренда. Следует также отметить, что периодическая
составляющая, вообще говоря, может иметь изменяющуюся со временем амплитуду, а период
колебаний может быть случайной величиной.
2. Описание модели
С учетом сказанного выше, предложенная нами математическая модель, описывающая
процессы такого характера, имеет вид
y(t) = g(t) + a(t)cos\
t-tn
л.
Тк+\
-2л + е(/), (2)
где g(t) - основная тенденция (тренд); a(t) - амплитуда циклических колебаний; Го - момент
первого пика; Г, - промежуток времени между /-м и (/+1)-м пиками; k+l - количество пиков,
наблюдавшихся до момента времени t\ z(t) - случайная составляющая с нулевым математическим
ожиданием.
При этом в качестве моделей g(t) и a(t) будем использовать класс полиномов
g(t)=go+g\t+git2+...+gnt\
a(t)=ao+a\t+a2t +...+amtn (3)
Так как пики синусоиды, вообще говоря, не совпадают с наблюдаемыми пиками временного
ряда, для их вьщеления анализируется остаточный временной ряд, получаемый после
устранения тренда методом скользящего среднего. После применения такой процедуры можно
считать, что в интервале между первым и последним наблюдавшимися пиками значения Г,
(/ = 1,£) известны, так же как и значение to. Поэтому для всех точек временного ряда, принадлежащих
этому интервалу, величина
cos
t-t.
1=1
7*+1
-In
может быть рассчитана, что позволяет получить одновременно оценки параметров модели go,
2
gi,...gn, ao, a\,...am и оценку дисперсии случайной составляющей а по методу наименьших
квадратов .
Кроме того, МНК позволяет получить оценки их дисперсий и ковариаций:
D{gi){i = 0, л); D{at)(i = 0,/я); co\{gi9gj}(i,j = 0, п)\ cov {ai9 a j}(i,j = 0,/и);
cov{ghaj}(i = 0,n; j = 0,m).
Формула для краткосрочного прогноза показателя (на период до ближайшего нового
пика) с использованием модели (2) будет иметь вид
50 А.И.Богданов
K O = iKO + S(Oпр)c os
tnP-h-Yji
1=1 -2л
lk + \
= go + g\tnp + g 2 ^ + - + £*C +
+ (5o + ^l'm, + 52r +... + 5wC)cod
*np '
' * + !
где f„p - прогнозный момент времени; Tk+l- оценка длительности периода между последним
наблюдавшимся и вновь ожидаемым пиком.
В качестве оценки Тк+] можно использовать среднее значение длительности промежутков
между пиками по данным предыдущей статистики
Тш=Т = ^Т,1к.
/=1
При этом оценка дисперсии случайной величины 7^+1
k(k-l) I = I
а оценка дисперсии ошибки прогаоза может быть рассчитана по формуле (см. приложение)
где
D{y(tnp) - Я ' » ) } = ^2 + D{g(tnp)} + cos2 МсЛя ГжоЛ
"/>'
•A(tnp)fk^)2D{Tk+l-fk+l} + 2cos 2
£>{5(/w)} + (5(/п-рp)) sin
V ^ + i У
cov{g(/ ),5(/ )},
Д^) = (^-^о-ХГ Г^2я;
/=7
^ * + 1 + 1 - П + 1}=—— 2(7}-й2;
*(*-Df/= 1
п-\ п
D{g(tnp)} = ^<пР£>Ш + 2 Z Z C 7 c6v{g,,|y};
/=0 /=о y=/+i
m rn — i m
D{a(tnp)} = ^%5{а,} + 2 ^ Yj%J С6У{Й„5;};
/=0 /=0 y=/+l
c6v{g(/w/,),5(^)} = ^ £ / ^ ' c 6 v { g / , 5 y } .
/=o y=o
3. Использование модели для прогноза показателей заболеваемости
Рассмотрим применение предложенной математической модели для описания динамики
количества случаев вьщеления патогенной микрофлоры в птицеводческих хозяйствах Российской
Федерации за период с 1982 по 1994 гг. .
Об одной математической модели прогнозирования циклических процессов
60
51
50
а 2о
I 10
-исходный ряд
-сглажечный ряд
-остагс чый гг ;
Рис.1. Динамика количества случаев выделения синегнойной палочки, протея и клеб-
сиеллы.
На рис.1 приведена динамика количества случаев выделения группы возбудителей (сп-
негнойная палочка, протей, клебсиелла). При этом на рисунке представлены исходные временные
ряды, сглаженные ряды методом скользящего среднего с равными весами и окном
сглаживания, равным 7 (для крайних точек ширина окна сглаживания была 5 и 3) и остаточные
ряды после устранения тренда.
Из представленных данных видно, что в динамике количества случаев выделения синегнойной
палочки, проюя и клебсиеллы амплитуда пиков имеет явную тенденцию к увеличению,
а средняя продолжительность периода между пиками составила 3.33 года. Поэтому нами
была апробирована модель с полиномиачьным трендом второго порядка и линейным увеличением
амплитуды циклических колебании. Оценки параметров этой модели приведены в табл.1.
Т а б л и ц а 1
Оценки параметров модели
Оценка параметров
модели
£о=15.940
£,=-4.430
#2=0.471
ЙСР-5.315
«1=2.501
Среднеквадрат. ошибки
оценок параметров
5.165
1.970
0.141
3.891
0.566
Значения критерия
Стыодента
3.09
2.25
3.34
1.37
4.42
Уровень значимости
0.05
0.10
0.05
_.
0.01
Попытка исключить из модели статистически незначимый параметр а() привела к значительному
увеличению дисперсии остатков (78.796 вместо 18.990) и статистической незначимости
всех параметров, кроме а\. Поэтому для прогнозирования была использована первоначальная
модель, результаты применения которой приведены в табл.2.
52 Л.И.Богданов
Т а б л и ц а 2
Результаты прогнозирования
Период упреждения
(лет)
1
2
3
Прогноз
22.94
16.01
70.37
Дисперсия
ошибки прогноза
23.67
30.12
47.54
Фактические
данные
21
15
-
Расхождение
2
1
-
При этом значение критерия Дарбина-Уотсона -2.566 укладывается в допустимые пределы
(0.56-3.44), а коэффициент вариации ошибок прогноза составляет 0.1-0.3, что является
вполне приемлемым. Кроме того, фактические расхождения укладываются в пределы полученных
по формуле оценок дисперсии ошибок прогноза.
Приложение
Оценим дисперсию ошибки прогноза показателя. Из формулы (3) следует, что
D{g{t)} = D{g0+g]t + g2t2+... + gnt"} = '^t2iD{gi} + 2^^ti+Jcov{gi,gj}.
Аналогично
п т-\ т
/=о /=0 у=/ + 1
cov{g(/),5(/)} = S Z / / + 7 cov&>5,.}.
/=о у=о
Для получения формулы оценки дисперсии ошибки прогноза напомним, что
y(t) = g{t) + a(t)cos\
t-tn • & •
i=i
Тк+\
-2л + е(4
#o=g(o+a(')H
t-tn •2>
1=1
Тк+\
-2я
V
Тогда с учетом некоррелированности случайных величин £(0 и Tk+i с оценками g(t) и
3(0
D{y{t) - y(t)} = D\ g(t) - f (/) + a(t) cos -<5(/)cos
•D{ e(0 + a(0 cos
Д 0 -g(0-5(/)cos
'Д0Л
+ 8(0 =
П+
(4)
V't+iy
= a +D-^a(/)cos 'Ж0Л
>+ D\g(t) + a(t) cos\
KTk+\ J
Об одной математической модели прогнозирования циклических процессов 53
где
Л(/) =
к Л
2л.
/=i J
Отметим, что в выражении
tf(/)cos
КТк + \ J
случайной является лишь величина 7*+i. Поэтому
D\a{t) cos a(/)sin 'доЛ
А')?;;, ОД*!"^,}-
Далее
D\g(t) + a(t)cos\ 'доЛ
:£{£(?)} + £> a(/)cos
\Tk + \J
- + 2 cov< g(t), a(t) cos
(5)
(6)
Вследствие независимости a(t) и 7^+1 по формуле дисперсии функции нескольких
случайных переменных
A(t)
\Jk+\ J
>cov{g(/),5(/)}.
M< cos ——
I \Tk + \)
• * cos
M{Tk+1}
= COS
At)
(7)
получим
cov<g(7),5(/)cos| '*'?
Tk+
= COS
K'k+i; \Tk + \J
cov{g(/),5(/)}.
Подставляя (5), (6), (7) и (8) в формулу (4) и учитывая, что
D{Tk+l-fk+i} = D{Tk+]-fk+l} + D{fk+l-fk+l},
получим окончательное выражение для дисперсии ошибки прогноза
(8)
54 А.И.Богданов
D{y(t)-y(t)} = a2+D{g(t)} +cos2 D{a(t)} +
tf(/)sin •тт& ° { 7 i + i - 7 * + i } + 2cos Tk + \
cov{g(/),5(0}.
Заменяя истинные величины Tk+l, a(t), g(t) их оценками Tk+l, a(t), g(/), получим оценку
дисперсии ошибки прогаоза для момента tn
где
D{y(tnp) -y{tnp)} = a 2 +D{g(/W)} + cos2
пр
*пр> J\*np
( f
D{a(tnp)} +
a{tnp) sin
Д О =
V
V~''
Л(и0/ ? ;
V ^+1 J
Atnp)Tk
2
+
\Tk+\ J
D{^+1-7i+1} + 2cos cov{g(/),5(/„)}
^ ^
o-Z^ 2л;
/=i у
A + l
^ { ^ 1 - ^ 1 } - - ^ — r E ^ - f ) 2 ' * ( * - ! ) •
rt-l И
/=o /=o y=/+i
m-\
D{S(tnp)} = ]£#D{5,} + 2 ^ EC''c6v{5,,5;};
/=0 /=o y=/+i
c6v{g(/v),5(^)} = J ^ / ^ c 6 v { f t > 5 y } .
/=0 y=0
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Кендалл М., Стьюарт А. Многомерный статистический анализ и временные ряды. -М.: Наука, 1976,
736с.
2. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. - М.: Мир, 1976, 755с.
3. Конева Е.С. Выбор моделей для реальных временных рядов (обзор). // Автоматика и телемеханика,
1988, №6, с.3-18.
 
Цитата
hatterХочется поделится с условием на первый взгляд простенькой задачи, уже пол дня думаю никак не придумаю решение...может кто поможет :)
Условие:
некторое событие происходит с определённой периодичностью, началась эта периодичность в определённое время суток. Через сколько суток это же событие произойдёт в это же время суток.
Кто напишет правильную формулу для этой задачи, тот меня очень удивит и порадует!

Полдня точно не хватит . Люди над этим годами работают. :yahoo: :dance: :hi:
 
всё нормально, уже дошло, зря тему открыла :grin:
 
Цитата
hatterвсё нормально, уже дошло, зря тему открыла :grin:

Ничего страшного, отдых для мозгов тоже нужен :yahoo: :yahoo: :yahoo:
 
я чего то не понял , эт очто за вычисления такие длинные??? :shock:
 
Цитата
Демиургя чего то не понял , эт очто за вычисления такие длинные??? :shock:

Это математическая модель прогнозирования циклического процесса. Только квадратные корни и суммы обозначены значками.
 
Цитата
лазарь
Цитата
Демиург пишет: я чего то не понял , эт очто за вычисления такие длинные??? :shock:

Это математическая модель прогнозирования циклического процесса. Только квадратные корни и суммы обозначены значками.

всё немного проще:
Х=м/н :cool:
 
как будто снова в универ попал !!!
 
Цитата
hatter
всё немного проще:
Х=м/н :cool:

Если Н- снизу - h-r , то кто М ? :lol: :lol: :lol:
Страницы: 1 2 3 След.
Ответить
Читают тему (гостей: 1)

Вход